۱- در کلاس درس، علی و رضا عضو هر دو تیم والیبال و فوتبال هستند. سامان، احسان، فرشید و حسین فقط در تیم والیبال و محمّد، حسن، کیوان و سبحان فقط در تیم فوتبال بازی می‌کنند.
الف) اگر مجموعه‌ی دانش‌آموزان عضو تیم والیبال را با V و فوتبال را با F نشان دهیم، این مجموعه‌ها را با نمودار ون نمایش دهید و سپس با عضوهایشان بنویسید.
ب) مجموعه‌ی دانش‌آموزانی را که در هر دو تیم عضویت دارند، بنویسید.
ج) مجموعه‌ی دانش‌آموزانی را که حداقل در یکی از این دو تیم عضویت دارند، بنویسید.
پاسخ تشربیحی:
برای حل این مسئله، اطلاعات داده شده را به زبان مجموعه‌ها برمی‌گردانیم.
**الف) نمایش مجموعه‌ها و نمودار ون**
* **مجموعه‌ی والیبال (V):** این مجموعه شامل دانش‌آموزانی است که **فقط والیبال** بازی می‌کنند و همچنین آنهایی که **هر دو ورزش** را بازی می‌کنند.
$V = \{\text{سامان, احسان, فرشید, حسین, علی, رضا}\}$
* **مجموعه‌ی فوتبال (F):** این مجموعه شامل دانش‌آموزانی است که **فقط فوتبال** بازی می‌کنند و همچنین آنهایی که **هر دو ورزش** را بازی می‌کنند.
$F = \{\text{محمّد, حسن, کیوان, سبحان, علی, رضا}\}$
* **نمودار ون:** برای نمایش، دو دایره‌ی متقاطع رسم می‌کنیم. یکی برای V و دیگری برای F.
* در **قسمت مشترک** (اشتراک)، نام‌های «علی» و «رضا» را می‌نویسیم.
* در **قسمتی که فقط متعلق به V است**، نام‌های «سامان»، «احسان»، «فرشید» و «حسین» را می‌نویسیم.
* در **قسمتی که فقط متعلق به F است**، نام‌های «محمّد»، «حسن»، «کیوان» و «سبحان» را می‌نویسیم.
**ب) مجموعه‌ی دانش‌آموزان عضو هر دو تیم**
این مجموعه، **اشتراک** دو مجموعه‌ی V و F است ($V \cap F$). اشتراک شامل اعضایی است که در هر دو مجموعه مشترک هستند.
$V \cap F = \{\text{علی, رضا}\}$
**ج) مجموعه‌ی دانش‌آموزان عضو حداقل یکی از دو تیم**
این مجموعه، **اجتماع** دو مجموعه‌ی V و F است ($V \cup F$). اجتماع شامل تمام اعضای منحصر به فردی است که در هر یک از دو مجموعه وجود دارند.
$V \cup F = \{\text{سامان, احسان, فرشید, حسین, محمّد, حسن, کیوان, سبحان, علی, رضا}\}$
۲- دو مجموعه‌ی $A = \{x \in \mathbb{N} | x \leq ۶\}$ و $B = \{x \in \mathbb{Z} | -۲ \leq x \leq ۳\}$ را در نظر بگیرید و مجموعه‌های زیر را با عضوهایشان تشکیل دهید:
الف) $A = \{\dots\}$
ب) $B = \{\dots\}$
ج) مجموعه‌ی عددهایی که در هر دو مجموعه‌ی A و B هست $ = \{\dots\}$ (این مجموعه را اشتراک A و B می‌نامیم و با نماد $A \cap B$ نشان می‌دهیم).
د) مجموعه‌ی عددهایی که حداقل در یکی از دو مجموعه‌ی A و B هست $ = \{\dots\}$ (این مجموعه را اجتماع A و B می‌نامیم و با نماد $A \cup B$ نشان می‌دهیم).
پاسخ تشریحی:
ابتدا باید اعضای مجموعه‌های A و B را به طور دقیق مشخص کنیم.
**الف) تعیین اعضای مجموعه‌ی A**
مجموعه‌ی A شامل **اعداد طبیعی** ($ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $) است که کوچکتر یا مساوی ۶ باشند. بنابراین:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
**ب) تعیین اعضای مجموعه‌ی B**
مجموعه‌ی B شامل **اعداد صحیح** ($ \mathbb{Z} = \{..., -1, 0, 1, ...\} $) است که بین ۲- و ۳ (شامل خودشان) قرار دارند. بنابراین:
$B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$
**ج) محاسبه‌ی اشتراک ($A \cap B$)**
اشتراک دو مجموعه شامل اعضایی است که **در هر دو مجموعه** به طور مشترک وجود دارند.
با مقایسه‌ی A و B، اعداد مشترک عبارتند از ۱, ۲, ۳.
$A \cap B = \{1, 2, 3\}$
**د) محاسبه‌ی اجتماع ($A \cup B$)**
اجتماع دو مجموعه شامل **تمام اعضای هر دو مجموعه** است، بدون تکرار اعضای مشترک.
برای این کار، تمام اعضای B را می‌نویسیم و سپس اعضای A را که قبلاً نوشته نشده‌اند به آن اضافه می‌کنیم.
$A \cup B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
elias
1403/08/21
کیفیت بده😒